相対性理論
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* ガリレイの相対性原理 [#zc92f47c]
何かが「動いている」というとき、それは何に対して動いてい...
逆にいえば、何を基準にするかは自由である。
つまり、道路を50km/h走っている車について、道路が静止して...
* 特殊相対性理論 [#q76e7d52]
- ''特殊相対性原理''&br;
お互いに等速度で運動しているすべての慣性系において、すべ...
- ''光速度不変の原理''&br;
真空中の光の速さは、光源の運動に関わらず一定である。
特殊相対論では、この理論が適用されるのが、静止系、或いは...
光速については「一定である」としているが、光速に達する、...
ちなみに 光速はおよそ 2.99792458× 10&sup(8); m/s (Wikiped...
* 一般相対性理論 [#f06310af]
- ''一般相対性原理''&br;
いかなる座標系においても物理法則は不変である。
- ''一般共変性原理''&br;
物理法則は、すべての座標系において同じ形式でなければなら...
- ''等価原理''&br;
慣性質量と重力質量は同じものである。（運動の加速度と重力...
一般相対性原理というのは、特殊相対論が慣性系だけに限って...
等価原理は、運動による加速度と、重力加速度は本質的に同じ...
* ガリレイ変換 [#zaaaad68]
3つの空間軸をとる座標系（デカルト座標系）を S と定義する...
S' が S に対して x 軸の正の方向に速度 v で移動していると...
その際、S における座標 P(x, y, z) を S' で見た場合の座標 ...
- x' = x - vt
- y' = y
- z' = z
となる。このとき t = t' （時間は同じである前提）
* ローレンツ変換 [#z01e5e17]
ガリレイ変換は、光速が一定であるということが考慮されてい...
x, y, z で表される座標系 S の原点から 時刻 t = 0 の時点に...
球面の半径を r とすると
r&sup(2); = x&sup(2); + y&sup(2); + z&sup(2); = (ct)&sup(...
簡単のために x軸方向だけを考えると、y = z = 0 とし
x&sup(2); = (ct)&sup(2); …(2)
この座標系 S に対して x軸の正の方向に速度 v で移動する座...
この S' についても同様に x軸方向だけで考えると、
(x')&sup(2); = (ct')&sup(2); …(3)
これをガリレイ変換で考えると
x' = x - vt …(4)&br;
t' = t
この逆変換は
x = x' + vt' …(5)&br;
t = t'
&size(11){※逆変換 : 左辺と右辺の ' を逆転。速度 v を -v ...
(5) を (2) に代入すると
(x' + vt')&sup(2); = (ct')&sup(2);&br;
(x')&sup(2); + 2x'vt' + (vt')&sup(2); = (ct')&sup(2);&br;
(x')&sup(2); + 2x'vt' = (ct')&sup(2); - (vt')&sup(2);
で、これは (3) と矛盾する。つまり、ガリレイ変換をそのまま...
ということで、(4)の式を修正。
x' = γ(x - vt) …(6)&br;
γという係数をつけてみる。
この逆変換は
x = γ(x' + vt') …(7)&br;
となる。
光速は一定なので、時刻 t = t' = 0 で x軸の正の方向に出た...
x = ct …(8)&br;
x' = ct' …(9)
(6)(7)(8)(9)から
&mimetex( \gamma~ = \frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} );...
t および t' について解くと
t' = γ(t - vx/c&sup(2);) …(11)&br;
t = γ(t' + vx'/c&sup(2);) …(12)
つまり、ローレンツ変換は (6) 及び(11) の式で表される。
逆変換は (7)(12)。
光速が一定とした場合、この座標変換でないと矛盾が発生する。
* 時間が遅れてみえる？ [#j07acd90]
床から天井まで距離 x の部屋で、床から天井に向かって光を発...
その光が天井に到達する時間 t は
t = x / c
その部屋が速度 v で移動するとして、そのときの光の移動距離...
t' = x' / c
これを部屋の中でみれば、x = x' なので t = t' 。
しかし、部屋の外からはこう見える。
&ref(fig_003.png);
x = AB で x' = AB'。x < x' で t < t' となるようにみえる。
つまり、部屋の外からみたら t' 経過しているようにみえるが、
部屋の中の人はその時点でまだ t (< t') しか経過していない...
この関係式を導けば、お互いにどれだけ時間が遅れてみえるか...
x : x' = t : t'
つまり
x / x' = t / t' …(1)
また、光速 c とすると、光が速度 c で x' 進む間に、部屋は ...
y : x' = v : c
つまり
y / x' = v / c …(2)
x' と x と y の関係は三平方の定理が成り立つので
x&sup(2); + y&sup(2); = (x')&sup(2);
これを変形。
(x / x')&sup(2); + (y / x')&sup(2); = 1&br;
(x / x')&sup(2); = 1 - (y / x')&sup(2);&br;
(1)と(2)より
(t / t')&sup(2); = 1 - (v / c)&sup(2);&br;
つまり
&mimetex( \frac{t}{t'} = \sqrt{1 - (\frac{v}{c})^2} );&br;
&mimetex( t = t'\sqrt{1 - (\frac{v}{c})^2} );
ここで t' は部屋の外からみたときの時間（観察者の座標系で...
** 光速以上で移動すると？ [#p6f195c2]
では v が c と同じ場合は？
&mimetex( t'\sqrt{1 - 1} = 0 ); なので、時間が止まる。
では v が c よりも大きい場合は？
平方根の中身が負になり、時間が虚数になる！？
* マイケルソン・モーレーの実験 [#m937c674]
相対論が提唱される前、空間にはエーテルという物質が満たさ...
&ref(fig_006.png);
図のように、S に光源、A に半透明の鏡（光を半分透過し、半...
AB と AC の距離は等しく、これを x とする。
この装置の右から左にエーテルの風が吹いているとする。エー...
&mimetex( t = \frac{x}{c - v} ); …(1)
逆に B から A への速度は c + v になるので
&mimetex( t = \frac{x}{c + v} ); …(2)
となり、A → B → A にかかる時間 t&sub(1); は
&mimetex( t_1 = \frac{x}{c - v} + \frac{x}{c + v} = \frac...
これを絶対座標系（静止して動かない視点）でみた場合、光が ...
&mimetex( t = \frac{x + vt}{c} ); …(4)
t について解いて
&mimetex( t = \frac{x}{c - v} ); …(5)
同様に、B → A を進む間にも鏡 A は vt だけ右へ移動する、と...
&mimetex( t = \frac{x - vt}{c} ); …(6)
t について解いて
&mimetex( t = \frac{x}{c + v} ); …(7)
なので、結局 A → B → A にかかる時間 t&sub(1); は
&mimetex( t_1 = \frac{x}{c - v} + \frac{x}{c + v} = \frac...
となり、前の結果(3)と変わらない。（当然）
次に A → C → A のルートを考える。
光が A → C を移動する速度は、鏡 C は右方向に速度 v で移動...
&ref(fig_008.png);
これは C → A への移動も同様（AC 間の距離は x で変わらない...
&mimetex( t_2 = \frac{2x}{\sqrt{c^2 - v^2}} ); …(9)
これを絶対座標で考えると、C は速度 v で右へ移動しているこ...
&mimetex( \sqrt{x^2 + (\frac{vt_2}{2}})^2 );
この距離を光速 c で移動するのにかかる時間は t&sub(2);/2 ...
&mimetex( \frac{t_2}{2} = \frac{\sqrt{x^2 + (\frac{vt_2}{...
つまり
&mimetex( t_2 = \frac{2x}{\sqrt{c^2 - v^2} ); …(11)
となり、(9)と同じになる。
そして、これでわかるように AB 間にかかる時間 t&sub(1); と...
上記の計算は、光源が移動することで光速が変化するというこ...
* 4次元時空 [#u566d672]
空間 x, y, z の時間 t における光の位置は、半径 r = ct の...
r&sup(2); = x&sup(2); + y&sup(2); + z&sup(2); = (ct)&sup(...
移項して
(ct)&sup(2); - x&sup(2); - y&sup(2); - z&sup(2); = 0
同様に、x', y', z', t' についても
(ct')&sup(2); - x'&sup(2); - y'&sup(2); - z'&sup(2); = 0
となり、つまり
s&sup(2); = (ct)&sup(2); - x&sup(2); - y&sup(2); - z&sup(...
ここで s は4次元時空における距離を表す。（3次元要素に加え...
* ミンコフスキー空間 [#wd11f420]
4次元時空における距離を x軸方向についてだけ考える（簡単の...
s&sup(2); = (ct)&sup(2); - x&sup(2);
s = 0（4次元距離が 0）とすると
(ct)&sup(2); - x&sup(2); = 0
これを、横軸 x、縦軸 ct として描くと、傾き±1の直線になる。
&ref(fig_004.png);
図の破線が光の軌跡。
ここにy軸もとると円錐状になる。
&ref(fig_005.png);
これを光円錐という。
4次元距離 s が正の値をとる部分、つまり破線の上側（円錐の...
** 光速以上で移動すると？ [#ra8e5f84]
4次元時空座標で考えた場合、本来その原点から光の速さで到達...
* 参考 [#x37bc6e1]
- [[相対性理論:http://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%9B%B8%E5%...
-- [[特殊相対性理論:http://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%89%B...
-- [[一般相対性理論:http://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%8...
終了行:
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* ガリレイの相対性原理 [#zc92f47c]
何かが「動いている」というとき、それは何に対して動いてい...
逆にいえば、何を基準にするかは自由である。
つまり、道路を50km/h走っている車について、道路が静止して...
* 特殊相対性理論 [#q76e7d52]
- ''特殊相対性原理''&br;
お互いに等速度で運動しているすべての慣性系において、すべ...
- ''光速度不変の原理''&br;
真空中の光の速さは、光源の運動に関わらず一定である。
特殊相対論では、この理論が適用されるのが、静止系、或いは...
光速については「一定である」としているが、光速に達する、...
ちなみに 光速はおよそ 2.99792458× 10&sup(8); m/s (Wikiped...
* 一般相対性理論 [#f06310af]
- ''一般相対性原理''&br;
いかなる座標系においても物理法則は不変である。
- ''一般共変性原理''&br;
物理法則は、すべての座標系において同じ形式でなければなら...
- ''等価原理''&br;
慣性質量と重力質量は同じものである。（運動の加速度と重力...
一般相対性原理というのは、特殊相対論が慣性系だけに限って...
等価原理は、運動による加速度と、重力加速度は本質的に同じ...
* ガリレイ変換 [#zaaaad68]
3つの空間軸をとる座標系（デカルト座標系）を S と定義する...
S' が S に対して x 軸の正の方向に速度 v で移動していると...
その際、S における座標 P(x, y, z) を S' で見た場合の座標 ...
- x' = x - vt
- y' = y
- z' = z
となる。このとき t = t' （時間は同じである前提）
* ローレンツ変換 [#z01e5e17]
ガリレイ変換は、光速が一定であるということが考慮されてい...
x, y, z で表される座標系 S の原点から 時刻 t = 0 の時点に...
球面の半径を r とすると
r&sup(2); = x&sup(2); + y&sup(2); + z&sup(2); = (ct)&sup(...
簡単のために x軸方向だけを考えると、y = z = 0 とし
x&sup(2); = (ct)&sup(2); …(2)
この座標系 S に対して x軸の正の方向に速度 v で移動する座...
この S' についても同様に x軸方向だけで考えると、
(x')&sup(2); = (ct')&sup(2); …(3)
これをガリレイ変換で考えると
x' = x - vt …(4)&br;
t' = t
この逆変換は
x = x' + vt' …(5)&br;
t = t'
&size(11){※逆変換 : 左辺と右辺の ' を逆転。速度 v を -v ...
(5) を (2) に代入すると
(x' + vt')&sup(2); = (ct')&sup(2);&br;
(x')&sup(2); + 2x'vt' + (vt')&sup(2); = (ct')&sup(2);&br;
(x')&sup(2); + 2x'vt' = (ct')&sup(2); - (vt')&sup(2);
で、これは (3) と矛盾する。つまり、ガリレイ変換をそのまま...
ということで、(4)の式を修正。
x' = γ(x - vt) …(6)&br;
γという係数をつけてみる。
この逆変換は
x = γ(x' + vt') …(7)&br;
となる。
光速は一定なので、時刻 t = t' = 0 で x軸の正の方向に出た...
x = ct …(8)&br;
x' = ct' …(9)
(6)(7)(8)(9)から
&mimetex( \gamma~ = \frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} );...
t および t' について解くと
t' = γ(t - vx/c&sup(2);) …(11)&br;
t = γ(t' + vx'/c&sup(2);) …(12)
つまり、ローレンツ変換は (6) 及び(11) の式で表される。
逆変換は (7)(12)。
光速が一定とした場合、この座標変換でないと矛盾が発生する。
* 時間が遅れてみえる？ [#j07acd90]
床から天井まで距離 x の部屋で、床から天井に向かって光を発...
その光が天井に到達する時間 t は
t = x / c
その部屋が速度 v で移動するとして、そのときの光の移動距離...
t' = x' / c
これを部屋の中でみれば、x = x' なので t = t' 。
しかし、部屋の外からはこう見える。
&ref(fig_003.png);
x = AB で x' = AB'。x < x' で t < t' となるようにみえる。
つまり、部屋の外からみたら t' 経過しているようにみえるが、
部屋の中の人はその時点でまだ t (< t') しか経過していない...
この関係式を導けば、お互いにどれだけ時間が遅れてみえるか...
x : x' = t : t'
つまり
x / x' = t / t' …(1)
また、光速 c とすると、光が速度 c で x' 進む間に、部屋は ...
y : x' = v : c
つまり
y / x' = v / c …(2)
x' と x と y の関係は三平方の定理が成り立つので
x&sup(2); + y&sup(2); = (x')&sup(2);
これを変形。
(x / x')&sup(2); + (y / x')&sup(2); = 1&br;
(x / x')&sup(2); = 1 - (y / x')&sup(2);&br;
(1)と(2)より
(t / t')&sup(2); = 1 - (v / c)&sup(2);&br;
つまり
&mimetex( \frac{t}{t'} = \sqrt{1 - (\frac{v}{c})^2} );&br;
&mimetex( t = t'\sqrt{1 - (\frac{v}{c})^2} );
ここで t' は部屋の外からみたときの時間（観察者の座標系で...
** 光速以上で移動すると？ [#p6f195c2]
では v が c と同じ場合は？
&mimetex( t'\sqrt{1 - 1} = 0 ); なので、時間が止まる。
では v が c よりも大きい場合は？
平方根の中身が負になり、時間が虚数になる！？
* マイケルソン・モーレーの実験 [#m937c674]
相対論が提唱される前、空間にはエーテルという物質が満たさ...
&ref(fig_006.png);
図のように、S に光源、A に半透明の鏡（光を半分透過し、半...
AB と AC の距離は等しく、これを x とする。
この装置の右から左にエーテルの風が吹いているとする。エー...
&mimetex( t = \frac{x}{c - v} ); …(1)
逆に B から A への速度は c + v になるので
&mimetex( t = \frac{x}{c + v} ); …(2)
となり、A → B → A にかかる時間 t&sub(1); は
&mimetex( t_1 = \frac{x}{c - v} + \frac{x}{c + v} = \frac...
これを絶対座標系（静止して動かない視点）でみた場合、光が ...
&mimetex( t = \frac{x + vt}{c} ); …(4)
t について解いて
&mimetex( t = \frac{x}{c - v} ); …(5)
同様に、B → A を進む間にも鏡 A は vt だけ右へ移動する、と...
&mimetex( t = \frac{x - vt}{c} ); …(6)
t について解いて
&mimetex( t = \frac{x}{c + v} ); …(7)
なので、結局 A → B → A にかかる時間 t&sub(1); は
&mimetex( t_1 = \frac{x}{c - v} + \frac{x}{c + v} = \frac...
となり、前の結果(3)と変わらない。（当然）
次に A → C → A のルートを考える。
光が A → C を移動する速度は、鏡 C は右方向に速度 v で移動...
&ref(fig_008.png);
これは C → A への移動も同様（AC 間の距離は x で変わらない...
&mimetex( t_2 = \frac{2x}{\sqrt{c^2 - v^2}} ); …(9)
これを絶対座標で考えると、C は速度 v で右へ移動しているこ...
&mimetex( \sqrt{x^2 + (\frac{vt_2}{2}})^2 );
この距離を光速 c で移動するのにかかる時間は t&sub(2);/2 ...
&mimetex( \frac{t_2}{2} = \frac{\sqrt{x^2 + (\frac{vt_2}{...
つまり
&mimetex( t_2 = \frac{2x}{\sqrt{c^2 - v^2} ); …(11)
となり、(9)と同じになる。
そして、これでわかるように AB 間にかかる時間 t&sub(1); と...
上記の計算は、光源が移動することで光速が変化するというこ...
* 4次元時空 [#u566d672]
空間 x, y, z の時間 t における光の位置は、半径 r = ct の...
r&sup(2); = x&sup(2); + y&sup(2); + z&sup(2); = (ct)&sup(...
移項して
(ct)&sup(2); - x&sup(2); - y&sup(2); - z&sup(2); = 0
同様に、x', y', z', t' についても
(ct')&sup(2); - x'&sup(2); - y'&sup(2); - z'&sup(2); = 0
となり、つまり
s&sup(2); = (ct)&sup(2); - x&sup(2); - y&sup(2); - z&sup(...
ここで s は4次元時空における距離を表す。（3次元要素に加え...
* ミンコフスキー空間 [#wd11f420]
4次元時空における距離を x軸方向についてだけ考える（簡単の...
s&sup(2); = (ct)&sup(2); - x&sup(2);
s = 0（4次元距離が 0）とすると
(ct)&sup(2); - x&sup(2); = 0
これを、横軸 x、縦軸 ct として描くと、傾き±1の直線になる。
&ref(fig_004.png);
図の破線が光の軌跡。
ここにy軸もとると円錐状になる。
&ref(fig_005.png);
これを光円錐という。
4次元距離 s が正の値をとる部分、つまり破線の上側（円錐の...
** 光速以上で移動すると？ [#ra8e5f84]
4次元時空座標で考えた場合、本来その原点から光の速さで到達...
* 参考 [#x37bc6e1]
- [[相対性理論:http://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%9B%B8%E5%...
-- [[特殊相対性理論:http://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%89%B...
-- [[一般相対性理論:http://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%8...
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