相対論的宇宙モデル
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開始行:
* 一般相対論的宇宙モデル [#cfea83ec]
#contents
** 時空の 3+1 分解 [#ie47c948]
一般相対論の4次元時空は、適当に導入された時間座標一定の面...
&mimetex( \normalsize \sum{}(t) ); 上の計量が
&mimetex( d\sigma^2=h_{ij}dx^i ); ( &mimetex( ...
のとき、4次元時空線素は
&mimetex( ds^2=-N^2dt^2+h_{ij}(dx^i+N^idt)(dx^i+N^idt) ...
と表せる。4次元計量テンソル10個のうち4つは座標によるパラ...
時空ダイナミクスを与えるアインシュタイン−ヒルベルト(Eins...
&mimetex( S_G=\frac{1}{{16}{\pi}{G}}\int{N}\sqrt{h}\lef...
と表せる。ここで
&mimetex( K_{ij}=\nabla_iN_j-\nabla_jN_i-\dot h_ij ); ...
は''外部曲率''と呼ばれ、&mimetex( \normalsize \sum{}(t) )...
また、&mimetex( ^{(3)}R );は&mimetex( \normalsize \sum{}(...
(3)のラグランジアンはラプス(lapse)&mimetex(N);と&mime...
** ロバートソン−ウォーカー計量(Robertson-Walker metric)...
宇宙モデルは、一様、等方3次元空間であり、その計量は定曲率...
&mimetex( d\sigma^2=a^2\left[{\frac{dx^2+dy^2+dz^2}{1+\...
&mimetex( =a^2\left[{\frac{dr^2}{1-kr^2}+r^2(d\th...
ここで &mimetex( r_1^2=(x^2+y^2+z^2) );, &mimetex( r=\fra...
&mimetex( d\sigma^2=a^2\left[{dx^2+f^2(x)(d\theta^2+\si...
と書ける。
&mimetex(k=1);で&mimetex(f(x)=\sin x);, &mimetex(k=0);で&...
&mimetex(h_{hj}=a^2\gamma_{ij});と書けば、定曲率空間の曲...
&mimetex( ^{(3)}R_{ijkl}=\frac{k}{a^2}(\gamma_{jl}\gamm...
であり、スカラテンソルは &mimetex( ^{(3)}R=\frac{6k}{a^2}...
&mimetex(N);を&mimetex(x^i);に依存しないようにとれば、&mi...
&mimetex( ds^2=-N^2(t)dt^2+a^2(t)(\gamma_{ij}(x)dx^idx^...
&mimetex( \gamma_{ij} );に(5)(6)(7)などと表せる定曲...
座標(7)でのR-W計量を用いて、動径方向 &mimetex(d\theta=d...
&mimetex( ds^2=-dt^2+a^2(t)dx^2=0 ); ・・・(10)
で表せる。動径座標が&mimetex(x);だけ離れた光源と観測者の...
&mimetex( \pm x=\int_t^{t_0}\frac{dt}{a(t)}=\int_{t+\de...
ゆえに、&mimetex(\delta t\ll t);ならば
&mimetex( \frac{\delta t}{a(t)}=\frac{\delta t_0}{a(t_0...
と書ける。
** 空間ダイナミクスの運動方程式 [#g32a262c]
R-W計量に対して作用積分(3)を書き下せば &mimetex( K_{ij}...
&mimetex(S_{G}=\frac{1}{{16}{G}}\int Na^3\left[{3\frac{...
&mimetex(=\frac{3{V}}{8{\pi}{G}}\int(kNa-\frac{1}...
ここで&mimetex(V);は空間座標について積分した体積。
物質として共動座標に静止した媒質を考えたとき
&mimetex(S_m=-V\int a^3\rho dt); ・・・(14)
全ラグランジアンは
&mimetex(L=\frac{3}{8{\pi}{G}}\left[{kNa-\frac{1}{N}\do...
運動方程式は オイラー−ラグランジュ(Euler-Lagrange)(E-L...
&mimetex( \frac{d}{dt}(\frac{\partial L}{\partial \dot{...
より導かれる。&mimetex( q_1=N );に対しては
&mimetex( \frac{3}{8{\pi}{G}}\left[{ka+\frac{1}{N^2}\do...
というハミルトン(Hamilton)の拘束条件が得られる。ここで ...
&mimetex( (\frac{\dot{a}}{a})^2+\frac{k}{a^2}=\frac{8\p...
この&mimetex(N(t));をとって、&mimetex(q_2=a);として(16)...
&mimetex( -\frac{3}{8{\pi}{G}}(2\ddot{a}a+\dot{a}^2+k)+...
となる。ここで&mimetex(\frac{d\rho}{da});の項は熱力学第1...
&mimetex(\frac{d\rho}{da}+\frac{3(\rho+P)}{a}=0); ・・・...
であり、これを(18)に代入すると
&mimetex(2\frac{\ddot{a}}{a}+(\frac{\dot{a}}{a})^2+\fra...
となる。
(b)に(a)を適用すると
&mimetex(\frac{\dot{a}}{a}=-\frac{4{\pi}{G}}{3}(\rho+3P...
(a)の右辺を''エネルギー項''と呼び、左辺第2項を''曲率項'...
物質の典型例として「ダスト」(&mimetex(P_d=0);), 「放射...
&mimetex(\rho_d\propto a^{-3});, &mimetex(\rho_r\propto...
** スカラ場 [#pc9777dc]
3次元空間で一様なスカラ場が存在する場合は(14)のかわりに
&mimetex( S_{\phi}=V\int a^3\left[{\frac{\phi^2}{2N}-NV...
となる。&mimetex(V_{\Phi}(\Phi));は真空エネルギー。&mimet...
&mimetex((\frac{\dot{a}}{a})+\frac{k}{a^2}=\frac{8{\pi}...
&mimetex( 2(\frac{\ddot{a}}{a})+(\frac{\dot{a}}{a})^2+\...
右辺を(a)(b)に対応させると
&mimetex( \Phi^2=\rho+P );, &mimetex( V_{\Phi}=\frac{\r...
また、&mimetex(\Phi);についてのE-L方程式より
&mimetex( \ddot{\Phi}+3\frac{\dot{a}}{a}\dot{\Phi}+V_{\...
** ホイラー−ドウイット方程式(Wheeler- DeWitt equation) ...
ラグランジアン
&mimetex( L=\frac{3}{8{\pi}{G}}\left[{ka-\dot{a}^2a}\ri...
からハミルトニアン&mimetex(H);を&mimetex(H=\pi_a \cdot \d...
&mimetex( H=-\frac{2\pi}{3}{G}\frac{\pi_a^2}{a}-\frac{3...
ここで、&mimetex( \pi_i\equiv \frac{\partial L}{\partial ...
(17)に対応したハミルトンの拘束条件は &mimetex(H=0); の...
量子力学では &mimetex(H=0);の条件を、状態 &mimetex(\Psi);...
&mimetex( H(a,\Phi,-i\hbar\frac{\partial}{\partial a},-...
という方程式に読み替える。これは拘束条件に関するディラッ...
一般には、&mimetex(h_{ij}(x^i));と&mimetex(\Phi(x^i));な...
&mimetex( \kappa(h_{ij},-i\hbar\frac{\partial}{\partial...
という方程式を''ホイラー−ドウイット(Wheeler-DeWitt)方程...
簡単な場合をとり、&mimetex(\Phi);が&mimetex(V_\Phi^\prime...
&mimetex( \left[{\frac{d^2}{da^2}-V_{eff}(a)}\right]\Ps...
&mimetex( V_{eff}=(\frac{3}{4{\pi}])^2\frac{1}{l_{Pl}^4...
ここで
&mimetex( l_{Pl}\equiv \sqrt{{G}\hbar}\simeq10^{-33} cm...
はプランク長さである。
** ド・ジッター(de Sitter)宇宙と埋め込み [#x016466c]
(未完成)
** 多重連結空間 [#c8526d28]
(未完成)
** 参考 [#f3219e6c]
- 宇宙物理 [現代物理学叢書] 佐藤文隆/著 岩波書店(ISBN...
- 宇宙がわかる17の方程式 [現代物理学入門] Sander Bais/著...
- 物理小事典 第4版 三省堂(ISBN4-385-24016-7)
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* 一般相対論的宇宙モデル [#cfea83ec]
#contents
** 時空の 3+1 分解 [#ie47c948]
一般相対論の4次元時空は、適当に導入された時間座標一定の面...
&mimetex( \normalsize \sum{}(t) ); 上の計量が
&mimetex( d\sigma^2=h_{ij}dx^i ); ( &mimetex( ...
のとき、4次元時空線素は
&mimetex( ds^2=-N^2dt^2+h_{ij}(dx^i+N^idt)(dx^i+N^idt) ...
と表せる。4次元計量テンソル10個のうち4つは座標によるパラ...
時空ダイナミクスを与えるアインシュタイン−ヒルベルト(Eins...
&mimetex( S_G=\frac{1}{{16}{\pi}{G}}\int{N}\sqrt{h}\lef...
と表せる。ここで
&mimetex( K_{ij}=\nabla_iN_j-\nabla_jN_i-\dot h_ij ); ...
は''外部曲率''と呼ばれ、&mimetex( \normalsize \sum{}(t) )...
また、&mimetex( ^{(3)}R );は&mimetex( \normalsize \sum{}(...
(3)のラグランジアンはラプス(lapse)&mimetex(N);と&mime...
** ロバートソン−ウォーカー計量(Robertson-Walker metric)...
宇宙モデルは、一様、等方3次元空間であり、その計量は定曲率...
&mimetex( d\sigma^2=a^2\left[{\frac{dx^2+dy^2+dz^2}{1+\...
&mimetex( =a^2\left[{\frac{dr^2}{1-kr^2}+r^2(d\th...
ここで &mimetex( r_1^2=(x^2+y^2+z^2) );, &mimetex( r=\fra...
&mimetex( d\sigma^2=a^2\left[{dx^2+f^2(x)(d\theta^2+\si...
と書ける。
&mimetex(k=1);で&mimetex(f(x)=\sin x);, &mimetex(k=0);で&...
&mimetex(h_{hj}=a^2\gamma_{ij});と書けば、定曲率空間の曲...
&mimetex( ^{(3)}R_{ijkl}=\frac{k}{a^2}(\gamma_{jl}\gamm...
であり、スカラテンソルは &mimetex( ^{(3)}R=\frac{6k}{a^2}...
&mimetex(N);を&mimetex(x^i);に依存しないようにとれば、&mi...
&mimetex( ds^2=-N^2(t)dt^2+a^2(t)(\gamma_{ij}(x)dx^idx^...
&mimetex( \gamma_{ij} );に(5)(6)(7)などと表せる定曲...
座標(7)でのR-W計量を用いて、動径方向 &mimetex(d\theta=d...
&mimetex( ds^2=-dt^2+a^2(t)dx^2=0 ); ・・・(10)
で表せる。動径座標が&mimetex(x);だけ離れた光源と観測者の...
&mimetex( \pm x=\int_t^{t_0}\frac{dt}{a(t)}=\int_{t+\de...
ゆえに、&mimetex(\delta t\ll t);ならば
&mimetex( \frac{\delta t}{a(t)}=\frac{\delta t_0}{a(t_0...
と書ける。
** 空間ダイナミクスの運動方程式 [#g32a262c]
R-W計量に対して作用積分(3)を書き下せば &mimetex( K_{ij}...
&mimetex(S_{G}=\frac{1}{{16}{G}}\int Na^3\left[{3\frac{...
&mimetex(=\frac{3{V}}{8{\pi}{G}}\int(kNa-\frac{1}...
ここで&mimetex(V);は空間座標について積分した体積。
物質として共動座標に静止した媒質を考えたとき
&mimetex(S_m=-V\int a^3\rho dt); ・・・(14)
全ラグランジアンは
&mimetex(L=\frac{3}{8{\pi}{G}}\left[{kNa-\frac{1}{N}\do...
運動方程式は オイラー−ラグランジュ(Euler-Lagrange)(E-L...
&mimetex( \frac{d}{dt}(\frac{\partial L}{\partial \dot{...
より導かれる。&mimetex( q_1=N );に対しては
&mimetex( \frac{3}{8{\pi}{G}}\left[{ka+\frac{1}{N^2}\do...
というハミルトン(Hamilton)の拘束条件が得られる。ここで ...
&mimetex( (\frac{\dot{a}}{a})^2+\frac{k}{a^2}=\frac{8\p...
この&mimetex(N(t));をとって、&mimetex(q_2=a);として(16)...
&mimetex( -\frac{3}{8{\pi}{G}}(2\ddot{a}a+\dot{a}^2+k)+...
となる。ここで&mimetex(\frac{d\rho}{da});の項は熱力学第1...
&mimetex(\frac{d\rho}{da}+\frac{3(\rho+P)}{a}=0); ・・・...
であり、これを(18)に代入すると
&mimetex(2\frac{\ddot{a}}{a}+(\frac{\dot{a}}{a})^2+\fra...
となる。
(b)に(a)を適用すると
&mimetex(\frac{\dot{a}}{a}=-\frac{4{\pi}{G}}{3}(\rho+3P...
(a)の右辺を''エネルギー項''と呼び、左辺第2項を''曲率項'...
物質の典型例として「ダスト」(&mimetex(P_d=0);), 「放射...
&mimetex(\rho_d\propto a^{-3});, &mimetex(\rho_r\propto...
** スカラ場 [#pc9777dc]
3次元空間で一様なスカラ場が存在する場合は(14)のかわりに
&mimetex( S_{\phi}=V\int a^3\left[{\frac{\phi^2}{2N}-NV...
となる。&mimetex(V_{\Phi}(\Phi));は真空エネルギー。&mimet...
&mimetex((\frac{\dot{a}}{a})+\frac{k}{a^2}=\frac{8{\pi}...
&mimetex( 2(\frac{\ddot{a}}{a})+(\frac{\dot{a}}{a})^2+\...
右辺を(a)(b)に対応させると
&mimetex( \Phi^2=\rho+P );, &mimetex( V_{\Phi}=\frac{\r...
また、&mimetex(\Phi);についてのE-L方程式より
&mimetex( \ddot{\Phi}+3\frac{\dot{a}}{a}\dot{\Phi}+V_{\...
** ホイラー−ドウイット方程式(Wheeler- DeWitt equation) ...
ラグランジアン
&mimetex( L=\frac{3}{8{\pi}{G}}\left[{ka-\dot{a}^2a}\ri...
からハミルトニアン&mimetex(H);を&mimetex(H=\pi_a \cdot \d...
&mimetex( H=-\frac{2\pi}{3}{G}\frac{\pi_a^2}{a}-\frac{3...
ここで、&mimetex( \pi_i\equiv \frac{\partial L}{\partial ...
(17)に対応したハミルトンの拘束条件は &mimetex(H=0); の...
量子力学では &mimetex(H=0);の条件を、状態 &mimetex(\Psi);...
&mimetex( H(a,\Phi,-i\hbar\frac{\partial}{\partial a},-...
という方程式に読み替える。これは拘束条件に関するディラッ...
一般には、&mimetex(h_{ij}(x^i));と&mimetex(\Phi(x^i));な...
&mimetex( \kappa(h_{ij},-i\hbar\frac{\partial}{\partial...
という方程式を''ホイラー−ドウイット(Wheeler-DeWitt)方程...
簡単な場合をとり、&mimetex(\Phi);が&mimetex(V_\Phi^\prime...
&mimetex( \left[{\frac{d^2}{da^2}-V_{eff}(a)}\right]\Ps...
&mimetex( V_{eff}=(\frac{3}{4{\pi}])^2\frac{1}{l_{Pl}^4...
ここで
&mimetex( l_{Pl}\equiv \sqrt{{G}\hbar}\simeq10^{-33} cm...
はプランク長さである。
** ド・ジッター(de Sitter)宇宙と埋め込み [#x016466c]
(未完成)
** 多重連結空間 [#c8526d28]
(未完成)
** 参考 [#f3219e6c]
- 宇宙物理 [現代物理学叢書] 佐藤文隆/著 岩波書店(ISBN...
- 宇宙がわかる17の方程式 [現代物理学入門] Sander Bais/著...
- 物理小事典 第4版 三省堂(ISBN4-385-24016-7)
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