相対論的宇宙モデルのバックアップ(No.1)

バックアップ一覧
差分を表示
現在との差分を表示
ソースを表示
相対論的宇宙モデルへ行く。
- 1 (2008-04-29 (火) 00:10:02)

一般相対論的宇宙モデル †

↑

時空の 3+1 分解 †

一般相対論の4次元時空は、適当に導入された時間座標一定の面にスライスされた3次元空間 $\sum_{}(t)$ の時系列として捉える。これを、時空の 3+1分解（正準形式, ADM形式）と呼ぶ。

$\sum{}(t)$ 上の計量が

　 $d\sigma^2=h_{ij}dx^i$ 　　　　　( $i,j=1,2,3$ )　･･･（1）

のとき、4次元時空線素は

　 $ds^2=-N^2dt^2+h_{ij}(dx^i+N^idt)(dx^i+N^idt)$ 　･･･（2）

と表せる。4次元計量テンソル10個のうち4つは座標によるパラメトリー化の自由度であり、力学的変数は6個になる。（2）は $h_{ij}$ が6個になるように表現したものである。

時空ダイナミクスを与えるアインシュタイン－ヒルベルト（Einstein-Hilbert）の作用積分は、表面積を除いて

　 $S_G=\frac{1}{{16}{\pi}{G}}\int{N}\sqrt{h}\left[{K^{ij}K_{ij}-K^2+^{(3)}R}\right]d^4x$ 　･･･（3）

と表せる。ここで

　 $K_{ij}=\nabla_iN_j-\nabla_jN_i-\dot h_ij$ 　･･･（4）

は外部曲率と呼ばれ、 $\sum{}(t)$ の埋め込みの仕方を与える。

また、 $^{(3)}R$ は $\sum{}(t)$ 内でのスカラ曲率である。例えば、円柱面では $^{(2)}R=0$ , $K_{\phi \phi}=\frac{1}{a^2}$ となり、固有曲率 $^{(2)}R$ はゼロだが、3次元空間への埋め込み方に曲率がある（ $K_{\phi \phi}\neq 0$ ）ことを意味する。それに対して、球面では $^{(2)}R=\frac{1}{a^2}$ となり、固有曲率もゼロではない。

（3）のラグランジアンはラプス（lapse） $N$ と $N^i$ の時間微分を含まないので、これら4つの関数はダイナミクスの変数ではないことを意味する。 $N$ と $N^i$ は座標系の選択に応じて決まるゲージ関数ということになる。

↑

ロバートソン－ウォーカー計量（Robertson-Walker metrics） †

宇宙モデルは、一様、等方3次元空間であり、その計量は定曲率空間として次のように表現される。

　 $d\sigma^2=a^2\left[{\frac{dx^2+dy^2+dz^2}{1+\frac{k}{4}r_1^2}}\right]$ 　･･･（5）
　　　　 $=a^2\left[{\frac{dr^2}{1-kr^2}+r^2(d\theta^2+\sin^2\theta d\phi^2)}\right]$ 　･･･（6）

ここで $r_1^2=(x^2+y^2+z^2)$ , $r=\frac{r_1}{1+\frac{kr_1^2}{4}}$ 。 $k$ は曲率の符号を表し、 $k=1,0,-1$ をとる。 $k=1$ の場合 $r=\sin x$ , $k=-1$ の場合 $r=\sin hx$ として、動径座標 $x$ を導入すると（6）は

　 $d\sigma^2=a^2\left[{dx^2+f^2(x)(d\theta^2+\sin^2\theta\phi^2)}\right]$ 　･･･（7）

と書ける。

$k=1$ で $f(x)=\sin x$ , $k=0$ で $f(x)=x$ , $k=-1$ で $f(x)=\sin hx$ となる。

$h_{hj}=a^2\gamma_{ij}$ と書けば、定曲率空間の曲率は

　 $^{(3)}R_{ijkl}=\frac{k}{a^2}(\gamma_{jl}\gamma_{ik}-\gamma_{jk}\gamma_{il})$ 　･･･（8）

であり、スカラテンソルは $^{(3)}R=\frac{6k}{a^2}$ である。

$N$ を $x^i$ に依存しないようにとれば、 $\sum{}(t)$ 上の各点での固有時が同一になるので、そのような $t$ を宇宙時と呼ぶ。また、測地線方程式で $\dot{x_i}=0$ なら $\ddot{x_i}=0$ となるためには $N_i=0$ を取れば良い。 $N_i=0$ ととれば、 $x_i =$ 一定の世界線がテスト粒子の軌跡となり、このような座標系は物質に付随しているので共動座標と呼ぶ。世界時と共動座標を用いて（2）は次のように書ける。

　 $ds^2=-N^2(t)dt^2+a^2(t)(\gamma_{ij}(x)dx^idx^j)$ ･･･（9）

$\gamma_{ij}$ に（5）（6）（7）などと表せる定曲率空間の計量をとり、 $N(t)=1$ にとった計量（9）をロバートソン－ウォーカー計量（Robertson-Walker metrics）（R-W 計量）という。この計量は対称性と座標系の取り方によって決まるもので、一般相対論のダイナミクスは一切使われていない。

座標（7）でのR-W計量を用いて、動径方向 $d\theta=d\phi=0$ での光線の伝播は

　 $ds^2=-dt^2+a^2(t)dx^2=0$ 　･･･（10）

で表せる。動径座標が $x$ だけ離れた光源と観測者の間に $t$ に発射した光が $t_0$ に受信され、 $t+\delta t_0$ に受信されるとすれば、（10）より

　 $\pm x=\int_t^{t_0}\frac{dt}{a(t)}=\int_{t+\delta t}^{t_0+\delta t_0}\frac{dt}{a(t)}$ 　･･･（11）

ゆえに、 $\delta t\ll t$ ならば

　 $\frac{\delta t}{a(t)}=\frac{\delta t_0}{a(t_0)}$ 　･･･（12）

と書ける。

↑

空間ダイナミクスの運動方程式 †

R-W計量に対して作用積分（3）を書き下せば $K_{ij}=-\dot{h}_{ij}=-2a\dot{a}\gamma_{ij}$ を用いて

　 $S_{G}=\frac{1}{{16}{G}}\int Na^3\left[{3\frac{1}{a^4}(\frac{a\dot{a}}{N})^2+(\frac{3}{a^2}\frac{\dot{a}a}{N})^2+\frac{6k}{a^2}}\right]d^4x$
　　　　 $=\frac{3{V}}{8{\pi}{G}}\int(kNa-\frac{1}{N}\dot{a}^2a)dt$ 　･･･（13）