一般知識 †

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ガリレイの相対性原理 †

何かが「動いている」というとき、それは何に対して動いているか？という基準を示さなければならない。

逆にいえば、何を基準にするかは自由である。

つまり、道路を50km/h走っている車について、道路が静止しているとするなら車は50km/h動いているのだし、車が静止しているとみれば道路が50km/h動いている。もしくは、車と道路がお互いに向かい合う方向に25km/hで動いている（合成速度は50km/h）と見ることもでいる。いずれも同じ事象である。

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特殊相対性理論 †

特殊相対論では、この理論が適用されるのが、静止系、或いは等速度の座標系 ＝ 慣性系でのみとしている。つまり、加速度の伴なう運動については言及しない。

光速については「一定である」としているが、光速に達する、若しくは超えるものの存在をここでは特に否定していない。問題は、この光の速度の特殊性ゆえ、他の物理理論にこの光速が再三使用され、また、質量を持つものがこれを超えることはないという前提で考えられている点にある。

ちなみに 光速はおよそ 2.99792458× 108 m/s (Wikipedia:光速) で、通常アルファベット c で表記される。

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一般相対性理論 †

一般相対性原理というのは、特殊相対論が慣性系だけに限っていたのに対して、一般相対論では全ての座標系についても物理法則は不変である、といっている。一般共変性原理は、座標変換しても物理法則が変わることはないということ。

等価原理は、運動による加速度と、重力加速度は本質的に同じものであり、それによって生じる質量も結局同じものだということ。例えば、無重力空間でロケットが9.8m/s2で加速したときに船内で後方に向かって感じる重量と、地球上で静止している人が下向きに感じる重量（重力加速度 g = 9.8m/s2）は区別することはできない、ということ。

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ガリレイ変換 †

3つの空間軸をとる座標系（デカルト座標系）を S と定義する。S の 時刻 t における i位置を x, y, z とする。これを (x, y, z, t) と書く。また、S とは別の座標系 S' (x', y', z', t') を定義する。

S' が S に対して x 軸の正の方向に速度 v で移動しているとし、時刻 t = t' = 0 において S と S' の原点は一致しているとする。

その際、S における座標 P(x, y, z) を S' で見た場合の座標 P'(x', y', z') との関係は、

となる。このとき t = t' （時間は同じである前提）

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ローレンツ変換 †

ガリレイ変換は、光速が一定であるということが考慮されていない。それを、光速が一定であることを仮定して修正された座標変換がローレンツ変換。

x, y, z で表される座標系 S の原点から 時刻 t = 0 の時点に光が発射されたとすると、その光は時刻 t において半径 ct （c は光速）の球面上に達している。

球面の半径を r とすると

r2 = x2 + y2 + z2 = (ct)2 …(1)

簡単のために x軸方向だけを考えると、y = z = 0 とし

x2 = (ct)2 …(2)

この座標系 S に対して x軸の正の方向に速度 v で移動する座標系 S' を仮定し、時刻 t = t' = 0 において S と S' の原点は一致するとする。

この S' についても同様に x軸方向だけで考えると、

(x')2 = (ct')2 …(3)

これをガリレイ変換で考えると

x' = x - vt …(4)
t' = t

この逆変換は

x = x' + vt' …(5)
t = t'

※逆変換 : 左辺と右辺の ' を逆転。速度 v を -v に逆転。

(5) を (2) に代入すると

(x' + vt')2 = (ct')2
(x')2 + 2x'vt' + (vt')2 = (ct')2
(x')2 + 2x'vt' = (ct')2 - (vt')2

で、これは (3) と矛盾する。つまり、ガリレイ変換をそのままでは使えない。

ということで、(4)の式を修正。

x' = γ(x - vt) …(6)

γという係数をつけてみる。

この逆変換は

x = γ(x' + vt') …(7)

となる。

光速は一定なので、時刻 t = t' = 0 で x軸の正の方向に出た光の位置は

x = ct …(8)
x' = ct' …(9)

(6)(7)(8)(9)から

\gamma~ = \frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} …(10)

t および t' について解くと

t' = γ(t - vx/c2) …(11)
t = γ(t' + vx'/c2) …(12)

つまり、ローレンツ変換は (6) 及び(11) の式で表される。 逆変換は (7)(12)。

光速が一定とした場合、この座標変換でないと矛盾が発生する。

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